Question

10．已知f（x）=|ax+2|，g（x）=|2x+b|．
（1）若a=1，b=-2，求不等式f（x）-g（x）≥-2的解集；
（2）求证：f（x）≥g（x）恒成立，的条件为ab=4且|a|≥2．

Answer 1

分析 （1）若a=1，b=-2，分类讨论求不等式f（x）-g（x）≥-2的解集；
（2）f（x）≥g（x），即|ax+2|≥|2x+b|，即（a²-4）x²+（4a-4b）x+4-b²≥0，利用二次函数的性质，即可证明结论．

解答 （1）解：a=1，b=-2，不等式f（x）-g（x）≥-2，即|x+2|-|2x-2|≥-2．
x≤-2时，-x-2+2x-2≥-2，解得x≥2，无解；
-2＜x＜1时，x+2+2x-2≥-2，解得x≥-$\frac{2}{3}$，∴-$\frac{2}{3}$≤x＜1；
x≥1时，x+2-2x+2≥-2，解得x≤6，∴1≤x≤6；
综上所述，不等式的解集为{x|-$\frac{2}{3}$≤x≤6}；
（2）证明：f（x）≥g（x），即|ax+2|≥|2x+b|．
∴（a²-4）x²+（4a-4b）x+4-b²≥0，
∵f（x）≥g（x）恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-4≥0}\\{（4a-4b）^{2}-4（{a}^{2}-4）（4-{b}^{2}）≤0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{|a|≥2}\\{（ab-4）^{2}≤0}\end{array}\right.$，
∴ab=4且|a|≥2．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．