Question

5．已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F到直线l：x-y+1=0上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线x-y+2=0与抛物线C相交于P，Q两点，求|PQ|以及线段PQ中点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的标准方程，将焦点F（0，$\frac{1}{2}$p）代入直线l方程算出p=2，即可得到抛物线C的方程；
（2）将直线l方程与抛物线C消去y，得 $\frac{1}{4}$x²-x-1=0．由根与系数的关系和中点坐标公式，即可算出线段PQ中点M的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F（0，$\frac{1}{2}$p）
∴0-$\frac{1}{2}$p+1=0，可得p=2，
因此抛物线C的方程是x²=4y；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，消去y得$\frac{1}{4}$x²-x-1=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=4，可得中点M的横坐标为$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=2，
代入直线l方程，得纵坐标为y_M=x_M+1=3．
即线段PQ中点M的坐标（2，3）．

点评 本题给出直线与抛物线相交，求抛物线方程并求截得弦的中点坐标．着重考查了抛物线的标准方程和直线与圆锥曲线的关系等知识，属于中档题．