Question

已知函数．

⑴若，解方程；

⑵若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

⑶是否存在实数，使不等式对一切实数恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）当时，, 故有,

,                                 

当时，由，有，解得或

当时，恒成立                            

∴ 方程的解集为                       

（2）,                   

若在上单调递增，则有

， 解得，                              

∴  当时，在上单调递增                       

（3）设

则                

不等式对一切实数恒成立，等价于不等式对一切实数恒成立．

①若，则，即，取，此时

，

即对任意的，总能找到，使得，

∴不存在，使得恒成立．                    

②若，，值域，

所以恒成立．                                    ③若，

当时，单调递减，其值域为，

由于，所以成立．

当时，由，知， 在处取最小值，

令，得，又，所以

综上，.