Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2

3

asinB=5c，cosB=

11

14

．
（1）求∠A的大小；
（2）设BC边的中点为点D，△ABC的面积为S=

15 3

4

，求中线AD的长．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用同角三角函数关系求得sinB的值，利用2

3

asinB=5c求得a和c的关系，进而利用正弦定理求得转化成角的正弦，利用两角和公式化简整理求得sinA和cosA的关系，求得tanA的值，进而求得A．
（2）利用三角形面积公式求得a，c，最后根据余弦定理即可求得答案．

解答： 解：（1）在△ABC中，∵cosB=

11

14

．
∴sinB=

5 3

14

，
∵2

3

asinB=5c，
∴2

3

•a•

5 3

14

=5c
∴3a=7c，
∵

a

sinA

=

c

sinC

，
∴3sinA=7sinC，
∴3sinA=7sin（A+B），
∴3sinA=7sinAcosB+7cosAsinB，即3sinA=7•sinA•

11

14

+7cosA

5 3

14

∴-sinA=

3

cosA，
∴tanA=-

3

，即A=

2π

3

．
（2）∵△ABC的面积为S=

15 3

4

，即有S_△ABC=

1

2

acsinB=

15 3

4

．
∴可解得：ac=21
∵由（1）知3a=7c，
∴从而可解得：a=7，c=3
∴在三角形ABD中，由余弦定理可得：AD²=AB2+BD2-2AB•BDcosB=9+

49

4

-21×

11

14

=

19

4

，
∴AD=

19

2

．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．解题的关键就是利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的转化，属于中档题．