Question

19．已知直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$，圆C的极坐标方程为ρ=8cosθ．
（1）求圆心C的直角坐标；
（2）若直线l与圆C相交于A，B两点，点P的直角坐标为（0，2），求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）将圆C的极坐标方程转化成普通方程，进而转化成圆的标准方程，即可求得圆心C的直角坐标；
（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，求得关于t的一元二次方程，令A，B对应参数分别为t₁，t₂，根据韦达定理t₁+t₂=-（4+2$\sqrt{3}$）＜0，t₁•t₂=4＞0，根据直线与圆的位置关系，即可求得|PA|+|PB|的值．

解答 解：（1）∵ρ=8cosθ，
∴ρ²=8ρcosθ
圆C的直角坐标方程为x²+y²=8x，
∴（x-4）²+y²=16，圆心C为（4，0）┅┅┅┅4分
（2）将直线l的参数方程直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$，代入x²+y²-8x=0，
得（-$\frac{1}{2}$t）²+（2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）²-8（-$\frac{1}{2}$t）=0，即t²+（4+2$\sqrt{3}$）t+4=0，┅┅┅┅8分
令A，B对应参数分别为t₁，t₂，则t₁+t₂=-（4+2$\sqrt{3}$）＜0，t₁•t₂=4＞0，
所以|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=4+2$\sqrt{3}$┅┅┅┅10分．

点评 本题考查圆的极坐标方程与普通方程得转换，直线与圆的位置关系，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．