Question

11．设直线系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个结论：
（1）当直线垂直于y轴时，θ=0或π；
（2）当θ=$\frac{π}{6}$时，直线倾斜角为120°；
（3）M中所有直线均经过一个定点；
（4）存在定点P不在M中任意一条直线上．
其中正确的是（　　）

• A． ①②
• B． ③④
• C． ②③
• D． ②④

Answer 1

分析 先弄清直线系M中直线的特征，直线系M表示圆 x²+（y-2）²=1 的切线的集合，再判断各个结论的正确性即可．

解答 解：直线系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），
（1）当直线垂直于y轴时，则sinθ=0，解得θ=0或π或2π，故（1）错误；
（2）当θ=$\frac{π}{6}$时，直线倾斜角为120°，故（2）正确；
（3）如图示：
，
由 直线系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），
可令$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2+sinθ}\end{array}\right.$，
消去θ可得  x²+（y-2）²=1，故 直线系M表示圆 x²+（y-2）²=1 的
切线的集合，故（3）不正确．
（4）因为对任意θ，存在定点（0，2）不在直线系M中的任意一条上，故（4）正确；
故选：D．

点评 本题考查直线系方程的应用，要明确直线系M中直线的性质，依据直线系M表示圆 x²+（y-2）²=1 的切线的集合，结合图形，判断各个命题的正确性．