Question

4．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．
（1）在极坐标系下写出θ=0和θ=$\frac{π}{2}$时该直线上的两点的极坐标，并画出该直线；
（2）已知Q是曲线ρ=1上的任意一点，求点Q到直线l的最短距离及此时Q的极坐标．

Answer 1

分析 （1）将θ=0和θ=$\frac{π}{2}$分别代入直线l的极坐标方程，求出ρ，从而得出两点的极坐标，画出直线；
（2）分别求出直线l和曲线ρ=1的直角坐标方程，要求圆上任意一点到直线l的最短距离，只要求圆心O（0，0）到直线l的距离即可．

解答 解：（1）直线l经过A（2，0），$B（2，\frac{π}{2}）$两点，
在极坐标系下，直线如图所示：
（2）曲线ρ=1化为直角坐标方程得x²+y²=1，该曲线为单位圆，
将直线l的极坐标方程$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=\sqrt{2}$化为直角坐标方程得x+y-2=0
要求圆上任意一点到直线l的最短距离，只要求圆心O（0，0）到直线l的距离即可．
由点到直线的距离公式得：$d=\frac{|0+0-2|}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，
所以点Q到直线l的最短距离为$\sqrt{2}-1$，
此时，点Q的极坐标为$Q（1，\frac{π}{4}）$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程，考查了圆上一点到直线的最短距离的求法，属于中档题．