Question

若定义域为R的奇函数f（x）满足f（1+x）=-f（x），则下列结论：
①f（x）的图象过点（1，0）；
②f（x）的图象关于直线x=

1

2

对称；
③f（x）是周期函数，且2是它的一个周期；
④f（x）在区间（-1，1）上是单调函数．
其中正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：①由奇函数f（0）=0可判断，②由奇函数的性质和对称性的结论可判断；③由f（1+x）=-f（x）和周期性的定义可求出函数的周期；④根据函数的对称轴可作出判断

解答： 解：∵定义域为R的奇函数f（x）满足f（1+x）=-f（x），
∴f（1）=-f（0）=0，∴f（x）的图象过点（1，0），故①正确；
由f（1+x）=-f（x）=f（-x）得，f（x）的图象关于直线x=

1

2

对称，故②正确；
用x+1替换f（1+x）=-f（x）中的x可得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴f（x）是周期函数，且2是它的一个周期，故③正确；
∵f（x）的图象关于直线x=

1

2

对称，
∴f（x）在区间（-1，1）上不是单调函数，故④不正确；
故答案为；①②③．

点评：本题考查函数的性质，熟练掌握函数奇偶性、周期性、对称性的定义是解决问题的关键，属基础题．