Question

10．在△ABC中，已知$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{2}{tanB}$，则cosB的最小值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 已知等式左边利用同角三角函数间基本关系切化弦后，再利用正弦、余弦定理化简，整理得到2b²=a²+c²，代入表示出的cosB中，利用基本不等式即可求出cosB的最小值．

解答 解：∵$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{2}{tanB}$，
∴$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{2cosB}{sinB}$，可得：$\frac{cosAsinC+sinAcosC}{sinAsinC}$=$\frac{sinB}{sinAsinC}$=$\frac{2cosB}{sinB}$，
∴cosB=$\frac{si{n}^{2}B}{2sinAsinC}$，
又∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
∴$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{（\frac{b}{2R}）^{2}}{2×\frac{a}{2R}×\frac{c}{2R}}$=$\frac{{b}^{2}}{2ac}$，可得：2b²=a²+c²，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{4ac}$≥$\frac{2ac}{4ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴cosB的最小值为$\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了正弦、余弦定理，基本不等式的应用以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题．