Question

在平面直角坐标系中，有三个点的坐标分别是A（-4，0），B（0，6），C（1，2）．
（1）证明：A，B，C三点不共线；
（2）求过A，B的中点且与直线x+y-2=0平行的直线方程；
（3）设过C且与AB所在的直线垂直的直线为l，求l与两坐标轴围成的三角形的面积．

Answer 1

考点：直线的截距式方程,直线的斜率

专题：直线与圆

分析：（1）只要证明k_AB≠k_AC，可得A，B，C三点不共线．
（2）利用中点坐标公式、相互平行的直线斜率之间的关系即可得出；
（3）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、三角形的面积计算公式即可得出．

解答： （1）证明：∵KAB=

6-0

0-(-4)

=

3

2

，KAC=

2-0

1-(-4)

=

2

5

，
∴k_AB≠k_AC．
∴A，B，C三点不共线．
（2）解：∵A，B的中点坐标为M（-2，3），
直线x+y-2=0的斜率k₁=-1，
s∴满足条件的直线方程为y-3=-（x+2），
即x+y-1=0为所求．
（3）解：∵KAB=

3

2

，
∴与AB所在直线垂直的直线的斜率为k2=-

2

3

，
∴满足条件的直线l的方程为y-2=-

2

3

(x-1)，即2x+3y-8=0．
∵直线l在x，y轴上的截距分别为4和

8

3

，
∴l与两坐标轴围成的三角形的面积为S=

1

2

×4×

8

3

=

16

3

．

点评：本题考查了三点不共线与斜率之间的关系、中点坐标公式、相互平行的直线斜率之间的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于基础题．