Question

已知点A、B是抛物线y²=4x上的两点，O是坐标原点，

OA

•

OB

=0，直线AB交x轴于点C，则|

OC

|=

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出A，B的坐标，讨论直线斜率存在时，联立直线方程与抛物线方程，利用消元法得到关于x的一元二次方程，由

OA

•

OB

=0，得x₁x₂+y₁y₂=0，建立关于参数k，b的关系，消去b可得直线恒过（4，0），可得C的坐标，即可得到向量OC的模，再考虑斜率不存在，同样可得C的坐标和向量OC的模．

解答： 解：设点A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
（1）当直线l存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，显然k≠0且b≠0．
联立方程得：

y=kx+b y2=4x

，消去y得k²x²+（2kb-4）x+b²=0
则x₁x₂=

b2

k2

，
由y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
则y₁y₂=4•

b

k

，
又

OA

•

OB

=0，则x₁x₂+y₁y₂=0，
即

b2

k2

+

4b

k

=0，
解得b=0（舍去）或b=-4k，
故直线l的方程为：y=kx-k=k（x-4），故直线过定点（4，0），
则有C（4，0），则|

OC

|=4．
（2）当直线l斜率不存在时，设它的方程为x=m，显然m＞0，
联立方程得：

x=m y2=4x

解得 y=±2

m

，即y₁y₂=-4m
又因为

OA

•

OB

=0，所以可得x₁x₂+y₁y₂=0，即m²-4m=0，
解得m=0（舍去）或m=4
可知直线l方程为：x=4，
故直线过定点（4，0）．
即有C（4，0），则|

OC

|=4．
故答案为：4．

点评：本题考查向量垂直的条件，同时考查直线与抛物线的位置关系，以及证明直线恒过定点，属于中档题．