Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=10，a₂为整数，且在前n项和中S₄最大．（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

13-an

3n+1

，n∈N⁺．
①求证：b_n+1＜b_n≤

1

3

；  
②求数列{b_2n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的通项公式及其性质即可得出；
（2）①利用数列的单调性即可证明；
②利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）由a₁=10，a₂为整数，等差数列{a_n}的公差d为整数．
又S_n≤S₄，故a₄≥0，a₅≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，
解得-

10

3

≤d≤-

5

2

，
因此d=-3．
数列{a_n}的通项公式为a_n=10-3（n-1）=13-3n．
（2）①证明：由（1）可知：b_n=

3n

3n+1

=

n

3n

，
∴b_n+1-b_n=

1-2n

3n+1

＜0，
∴数列{b_n}是单调递减数列，{b_n}的最大项为b₁=

1

3

．
∴b_n+1＜b_n≤

1

3

．
②解：Tn=

2

9

+

4

92

+

6

93

+…+

2n

9n

，

1

9

Tn=

2

92

+

4

93

+

6

94

+…+

2n

9n+1

，
两式相减可得

8

9

Tn=

2

91

+

2

92

+

2

93

+…+

2

9n

-

2n

9n+1

=

2 9 [1-( 1 9 )n]

1- 1 9

-

2n

9n+1

=

1

4

[1-(

1

9

)n]-

2n

9n+1

，
∴T_n=

9

32

-

9+8n

32×9n

．

点评：本题考查了数列的单调性、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．