Question

已知数列{a_n}的前n项和为Sn，且S_n=n²+n
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_n2ⁿ（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n=1时，a₁=S₁=2；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+n）-[（n-1）²-（n-1）]=2n，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由已知：bn=2n•2n=n•2n+1，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2…（2分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+n）-[（n-1）²-（n-1）]=2n，
n=1时，也适合上式．
∴a_n=2n．…（6分）
（2）由已知：bn=2n•2n=n•2n+1，
∵Tn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，①
∴2T_n=1•2³+2•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，②…（8分）
①-②得：-T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²
=

4(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺²，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．