Question

已知：

a

、

b

、

c

是同一平面内的三个向量，其中

a

=（1，2）
（1）若|

c

|=2

5

，且

c

∥

a

，求

c

的坐标；
（2）若|

b

|=

5

2

，且

a

+2

b

与2

a

-

b

垂直，求

a

与

b

的夹角θ．

Answer 1

分析：（1）设

c

=(x，y)，由|

c

|=2

5

，且

c

∥

a

，知

y-2x=0 x2+y2=20

，由此能求出

c

的坐标．
（2）由(

a

+2

b

)⊥(2

a

-

b

)，知(

a

+2

b

)•(2

a

-

b

)=0，整理得

a

•

b

=-

5

2

，故cosθ=

a • b

| a | •| b |

=-1，由此能求出

a

与

b

的夹角θ．

解答：解：（1）设

c

=(x，y)，
∵|

c

|=2

5

，且

c

∥

a

，
∴

y-2x=0 x2+y2=20

，…（3分）
解得

x=2 y=4

 或

x=-2 y=-4

，…（5分）
故

c

=(2，4) 或

c

=(-2，-4)．…（6分）
（2）∵(

a

+2

b

)⊥(2

a

-

b

)，
∴(

a

+2

b

)•(2

a

-

b

)=0，
 即2

a

2+3

a

•

b

-2

b

 2=0，…（8分）
∴2×5-3

a

•

b

-2×

5

4

=0，
整理得

a

•

b

=-

5

2

，…（10分）
∴cosθ=

a • b

| a | •| b |

=-1，…（12分）
又∵θ∈[0，π]，∴θ=π．…（14分）

点评：本题考查平面向量的坐标运算和数量积判断两个平面垂直的条件的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．