Question

已知函数f（x）=x²+

48

x

，x∈[-3，-1]．
（1）求f（x）的值域；
（2）设a≥1，函数g（x）=x³-3a²x+14a-1，若对于任意x₁∈[-3，-1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数的值域

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=2x-

48

x2

=

2x3-48

x2

；从而判断函数的单调性，从而求值域．
（2）求导g′（x）=3x²-3a²=3（x+a）（x-a），从而可判断g（x）=x³-3a²x+14a-1在[0，1]上是减函数，从而化恒成立问题为g（1）≤-47且g（0）≥-7；从而求解．

解答： 解：（1）f′（x）=2x-

48

x2

=

2x3-48

x2

；
∵x∈[-3，-1]，
∴f′（x）＜0；
故f（-1）≤f（x）≤f（-3）；
即-47≤f（x）≤-7；
故f（x）的值域为[-47，-7]；
（2）g′（x）=3x²-3a²=3（x+a）（x-a），
∵a≥1，
∴当x∈[0，1]，g′（x）≤0；
故g（x）=x³-3a²x+14a-1在[0，1]上是减函数，
又∵f（x）的值域为[-47，-7]；
∴对于任意x₁∈[-3，-1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立可化为
g（1）≤-47且g（0）≥-7；
即3a²-14a-47≥0且14a-1≥-7；
解得，a≥

7+ 190

3

．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于中档题．