Question

设命题p：关于x的不等式2x-3a≤0在区间（-4，1）上恒成立；命题q：函数y=3 x2-ax+1在区间（1，+∞）上是增函数．若命题p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：利用一次函数的单调性可得命题P的a的取值范围，利用指数函数和复合函数的单调性可得命题q的a的取值范围，再利用命题p或q为真，p且q为假，可得p与q一真一假．

解答： 解：对于命题p：∵关于x的不等式2x-3a≤0在区间（-4，1）上恒成立，
∴

2•(-4)-3a≤0 2•1-3a≤0

⇒p：a≥

2

3

．
对于命题q：令t=x²-ax+1，
∴y=3^t，函数y=3x2-ax+1在区间（1，+∞）上是增函数，
由复合函数单调性可知t=x²-ax+1在区间（1，+∞）上是增函数，
∴

a

2

≤1  ⇒q：a≤2．
∵命题p或q为真，p且q为假，
∴p与q一真一假．
若p真q假，则a＞2；
 若p假q真，则a＜

2

3

．
综上，a的取值范围为a＞2或a＜

2

3

．

点评：本题考查了一次函数的单调性、指数函数和复合函数的单调性、复合命题的真假判断，属于中档题．