Question

3．定义$\frac{n}{{{a_1}+{a_2}+…+{a_n}}}$为n个正数a₁，a₂，…a_n的“均倒数”．若已知数列{a_n}的前n项的“均倒数”为$\frac{1}{2n+1}$，又${b_n}=\frac{{{a_n}+1}}{4}$，则$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_{2016}}{b_{2017}}}}$=（　　）

• A． $\frac{2016}{2017}$
• B． $\frac{1}{2017}$
• C． $\frac{2015}{2016}$
• D． $\frac{2017}{2018}$

Answer 1

分析 设S_n=a₁+a₂+…+a_n，由题意可得：$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$，可得S_n=2n²+n．利用递推关系可得a_n．可得${b_n}=\frac{{{a_n}+1}}{4}$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：设S_n=a₁+a₂+…+a_n，
由题意可得：$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$，可得S_n=2n²+n．
∴n=1时，a₁=S₁=3；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²+n-[2（n-1）²+（n-1）]=4n-1．n=1时也成立．
∴a_n=4n-1．
∴${b_n}=\frac{{{a_n}+1}}{4}$=n，∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
则$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_{2016}}{b_{2017}}}}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}）$=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．