Question

若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域内的任意实数x分别满足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“分界直线”．已知函数f（x）=2x²-4和函数g（x）=4lnx-2，那么函数f（x）和函数g（x）的分界直线方程为

 

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：新定义,导数的综合应用

分析：令F（x）=f（x）-g（x）=2x²-4-4lnx+2=2x²-2-4lnx（x＞0），利用导数可求得F（x）的最小值是0及两图象的公共点（1，-2），从而可判断f（x）和g（x）的分界直线过这个公共点，则分界线可表示为y=kx-k-2，由f（x）≥kx-k-2恒成立可求得k值，再证明g（x）≤4x-6在x＞0时恒成立即可，利用导数易证．

解答： 解：令F（x）=f（x）-g（x）=2x²-4-4lnx+2=2x²-2-4lnx（x＞0），
∴F′（x）=4x-

4

x

=

4(x+1)(x-1)

x

，令F′（x）=0，得x=1，
当0＜x＜1时，F′（x）＜0，x＞1时，F′（x）＞0，
故当x=1时，F（x）取到最小值，最小值是0，
∴函数f（x）和g（x）的图象在（1，-2）处相交，
因此存在f（x）和g（x）的分界直线，那么该直线过这个公共点，
则-2=k+b，即y=kx-k-2，
由f（x）≥kx-k-2（x∈R），可得2x²-kx+k-2≥0当x∈R恒成立，
则△=k²-8k+16=（k-4）²≤0，
∴k=4，此时直线方程为：y=4x-6．
下面证明g（x）≤4x-6在x＞0时恒成立，
令G（x）=g（x）-（4x-6）=4lnx-4x+4（x＞0），
则G′（x）=

4

x

-4=

4(1-x)

x

，
则当0＜x＜1时G′（x）＞0，G（x）递增；当x＞1时G′（x）＜0，G（x）递减；
则当x=1时，G（x）取到极大值，极大值是0，也是最大值．
∴G（x）=g（x）-（4x-6）≤0，则g（x）≤4x-6当x＞0时恒成立．
∴函数f（x）和g（x）存在唯一的分界直线y=4x-6．

点评：本题考查的知识点是函数的求导，利用导数求最值，属于中档题，注意做题要仔细．