题目内容
长方体ABCD-A1B1C1D1中对角线AC1与平面ABCD、平面ABB1A1、平面AA1D1D上射影所成角分别为θ1、θ2，θ3，求cos2θ1+cos2θ2+cos2θ3的值．考点：直线与平面所成的角
专题：空间角
分析：设长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为a、b、c，则
=
，
=
，
=
．由此能求出
+
+
的值．
| cos | 2 θ1 |
| a2+b2 |
| a2+b2+c2 |
| cos | 2 θ2 |
| a2+c2 |
| a2+b2+c2 |
| cos | 2 θ3 |
| b2+c2 |
| a2+b2+c2 |
| cos | 2 θ1 |
| cos | 2 θ2 |
| cos | 2 θ3 |
解答：
解：设长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为a、b、c，
∵对角线AC1与平面ABCD、平面ABB1A1、平面AA1D1D上射影所成角分别为θ1、θ2，θ3，
∴θ1=∠CAC1，则cos2θ1=（
）2=
，
θ2=∠C1AB1，则cos2θ2=（
）2=
，
θ3=∠D1AC1，则cos2θ3=（
）2=
．
故cos2θ1+cos2θ2+cos2θ3=
=2．
∵对角线AC1与平面ABCD、平面ABB1A1、平面AA1D1D上射影所成角分别为θ1、θ2，θ3，
∴θ1=∠CAC1，则cos2θ1=（
| AC |
| AC1 |
| a2+b2 |
| a2+b2+c2 |
θ2=∠C1AB1，则cos2θ2=（
| AB1 |
| AC1 |
| a2+c2 |
| a2+b2+c2 |
θ3=∠D1AC1，则cos2θ3=（
| AD1 |
| AC1 |
| b2+c2 |
| a2+b2+c2 |
故cos2θ1+cos2θ2+cos2θ3=
| 2(a2+b2+c2) |
| a2+b2+c2 |
点评：本题考查三线线面角的余弦值的平方的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面与平面垂直的性质定理、勾股定理、线面角的求解等基础知识的合理运用，意在考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．
练习册系列答案
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将两枚质地均与透明且各面分别标有1，2，3，4的正四面体玩具各掷一次，设事件A={两个玩具底面点数不同}，B={两个玩具底面点数至少出现一个2点}，则P（B|A）=（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
|
| ||
|
| A、x＜1 | ||
| B、x≠1 | ||
C、
| ||
| D、x≥2 |