Question

17．将函数f（x）=sinωxcosφ-cosωxsinφ（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标）不变，再向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g（x）的图象过点（$\frac{π}{6}$，0），且相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的单调递增区间；
（Ⅲ）若锐角△ABC中，角A，B，C成等差数列，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可得f（x）=sin（ωx-φ），由函数图象变换可得g（x）=sin（$\frac{1}{2}$ωx+$\frac{π}{12}$-φ）的图象，由题意可得ω=4和φ值，可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）解2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x-$\frac{5}{12}$π≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得函数的单调递增区间，结合x∈[0，$\frac{π}{2}$]可得；
（Ⅲ）由锐角三角形可得A的范围，由三角函数的值域可得．

解答 解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sinωxcosφ-cosωxsinφ=sin（ωx-φ），
将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标）不变得到y=sin（$\frac{1}{2}$ωx-φ）的图象，
再向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数y=g（x）=sin[$\frac{1}{2}$ω（x+$\frac{π}{6}$）-φ]=sin（$\frac{1}{2}$ωx+$\frac{π}{12}$-φ）的图象，
又函数y=g（x）的图象过点（$\frac{π}{6}$，0），且相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{2π}{\frac{1}{2}ω}$=2×$\frac{π}{2}$，解得ω=4，由2•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{12}$-φ=kπ，k∈Z，结合0＜φ＜π可得φ=$\frac{5}{12}$π
∴函数f（x）的解析式为f（x）=sin（4x-$\frac{5}{12}$π）；
（Ⅱ）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x-$\frac{5}{12}$π≤2kπ+$\frac{π}{2}$可解得$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{48}$≤x≤$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{11π}{48}$，k∈Z，
结合x∈[0，$\frac{π}{2}$]可得函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的单调递增区间为[0，$\frac{11π}{48}$]；
（Ⅲ）∵锐角△ABC中，角A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，
结合A+B+C=π可得B=$\frac{π}{3}$，A+C=$\frac{2π}{3}$，故C=$\frac{2π}{3}$-A∈（0，$\frac{π}{2}$），
结合A为锐角可得A∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），故4A-$\frac{5}{12}$π∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{19π}{12}$）
∴f（A）的取值范围为[-1，1]

点评 本题考查三角函数图象变换和单调性以及三角函数的值域，属中档题．