Question

已知函数f（x）=x²+2ax-a+2
（1）若对于任意x∈R，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若对于任意x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若对于任意a∈[-1，1]，x²+2ax-a+2＞0恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意利用二次函数的性质可得△=4a²-4（-a+2）≤0，由此求得求得a的范围．
（2）由于对于任意x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，故f（x）_min≥0．利用二次函数的性质，分类讨论求得a的范围．
（3）问题等价于g（a）=（2x-1）a+x²+2＞0，再由g（-1）、g（1）都大于零，求得x的范围．

解答： 解：（1）若对于任意x∈R，f（x）=x²+2ax-a+2≥0恒成立，
则有△=4a²-4（-a+2）≤0，求得-2≤a≤1．
（2）由于对于任意x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，故f（x）_min≥0．
又函数f（x）的图象的对称轴方程为x=-a，当-a＜-1时，f_min（x）=f（-1）=3-3a≥0，求得a无解；
当-a＞1时，f_min（x）=f（1）=3+a≥0，求得-3≤a＜-1；
当-a∈[-1，1]时，f_min（x）=f（-a）=-3a²-a+2，求得-1≤a≤

2

3

．
综上可得，a的范围为[-3，

2

3

]．
（3）若对于任意a∈[-1，1]，x²+2ax-a+2＞0恒成立，等价于g（a）=（2x-1）a+x²+2＞0，
∴

g(-1)=x2-2x+1+2＞0 g(1)=x2+2x-1+2＞0

，求得x≠-1，即x的范围为{x|x≠-1}．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，函数的恒成立问题，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于基础题．