Question

棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′，P为棱CC′上一点，Q为AD中点．
（1）当PC为何值时，AP⊥A′Q；
（2）在（1）的情况下，求异面直线A′B与AP所成的角．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：计算题,向量法,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）设PC=a，以A为坐标原点，AB，AD，AD'所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出A，P，Q，A'的坐标，以及向量AP，A'Q的坐标，运用向量垂直的条件，解方程，即可得到PC的长；
（2）求出向量AP，A'B的坐标，再由向量的夹角公式，计算即可得到所成的角．

解答： 解：（1）设PC=a，以A为坐标原点，AB，AD，AD'所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），P（1，1，a），Q（0，

1

2

，0），A'（0，0，1），
则

AP

=（1，1，a），

A′Q

=（0，

1

2

，-1），
由AP⊥A′Q，则有0+

1

2

-a=0，
解得，a=

1

2

，
则PC为

1

2

时，AP⊥A′Q；
（2）由于B（1，0，0），P（1，1，

1

2

），
则

A′B

=（1，0，-1），

AP

=（1，1，

1

2

），
有cosθ=

AP • A′B

| AP |•| A′B |

=

1- 1 2

2 • 2+ 1 4

=

2

6

．
即异面直线A′B与AP所成的角为arccos

2

6

．

点评：本题考查向量法求异面直线所成的角，考查数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．