Question

函数y=log_a（x+2）-1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则

1

m

+

1

n

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．

解答： 解：∵x=-1时，y=log_a1-1=-1，
∴函数y=log_a（x+2）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（-1，-1），
即A（-1，-1），
∵点A在直线mx+ny+1=0上，
∴-m-n+1=0，即m+n=1，
∵mn＞0，
∴m＞0，n＞0，
∴

1

m

+

1

n

=（

1

m

+

1

n

）（m+n）=2+（

n

m

+

m

n

）≥2+2

n m • m n

=2+2=4，
当且仅当m=n=

1

2

时取等号，
故答案为：4

点评：本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查的重点内容．