Question

如图，在多面体ABCDE中，AE⊥平面ABC，DB∥AE，且AC＝AB＝BC＝AE＝1，BD＝2，F为CD中点．

(1)求证：EF⊥平面BCD；

(2)求多面体ABCDE的体积；

(3)求平面ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

 (1)证明：取BC中点G，连接AG、FG，

∵F、G分别为DC、BC中点，

∴FG綊DB綊EA.

∴四边形EFGA为平行四边形．

∴EF∥AG.

∵AE⊥平面ABC，BD∥AE，

∴DB⊥平面ABC.

又∵DB⊂平面BCD，

∴平面ABC⊥平面BCD.

又∵G为BC中点且AC＝AB＝BC，

∴AG⊥BC.∴AG⊥平面BCD.∴EF⊥平面BCD.

(2)过C作CH⊥AB，则CH⊥平面ABDE且CH＝，

∴V_C－ABDE＝×S_{四边形ABDE}×CH＝××1×＝.

(3)过C作CH⊥AB于H，以H为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则＝(－，，1)，

设平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)，

由

取n＝(，－1,1)．

又平面ABC的法向量为u＝(0,0,1)，

则cos〈n，u〉＝＝＝.

∴平面ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值为.