如图1所示.四边形OABC是矩形.点A.C的坐标分别为.点D是线段BC上的动点.过点D作直线y=-12x+b交折线OAB于点E．(1)记△ODE的面积为S.求S与b的函数关系式,(2)当点E在线段OA上时.若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1.试探究O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化.若不变.求出该重叠部分的面积,若改变.请说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图1所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=-

x+b交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O₁A₁B₁C₁，试探究O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

考点：根据实际问题选择函数类型,函数解析式的求解及常用方法

专题：探究型

分析：（1）由过D点的直线y=-

x+b分别求出直线过A，B，C时的b的值，然后分别求出E在线段OA和AB上的点E的坐标，当E在线段OA上时，直接由三角形的面积公式写出△ODE的面积，当E在线段BC上时，由矩形面积减去三个直角三角形的面积得△ODE的面积，最后分段写出即可；
（2）通过作图得到矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O₁A₁B₁C₁，由平面几何知识得到重叠部分的四边形为菱形，设出菱形的边长，利用直线的斜率是-

，通过解直角三角形求出菱形的边长为定值，从而求得重叠部分的四边形的面积为定值．

解答： 解：（1）由题意得B（3，1）．
若直线经过点A（3，0）时，则b=

．
若直线经过点B（3，1）时，则b=

．
若直线经过点C（0，1）时，则b=1．
①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤

时，
如图：

此时E（2b，0），∴S=

OE•CO=

×2b×1=b；
②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即

＜b＜

时，
如图：

2
此时E（3，b-

），D（2b-2，1），
∴S=S_矩-（S_△OCD+S_△OAE+S_△DBE）
=3-[

（2b-1）×1+

×（5-2b）•（

-b）+

×3（b-

）]=

b-b2．
∴S=

b，1＜b≤

b-b2，

＜b＜

；
（2）如图3：

设O₁A₁与CB相交于点M，OA与C₁B₁相交于点N，
则矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形．
根据轴对称知，∠MED=∠NED．
又∠MDE=∠NED，∴∠MED=∠MDE，∴MD=ME，∴平行四边形DNEM为菱形．
过点D作DH⊥OA，垂足为H，
由题易知，tan∠DEN=

，DH=1，∴HE=2，
设菱形DNEM 的边长为a，
则在Rt△DHM中，由勾股定理知：a²=（2-a）²+1²，解得a=

．
∴S_{四边形DNEM}=NE•DH=

．
∴矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为

．

点评：本题考查了函数模型选择及应用，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了学生的抽象思维能力和运算能力，属于较难的题目．