Question

对定义域为D的函数，若存在距离为d的两条平行直线l _l：y=kx+m_l和l ₂：y=kx+m₂（m_l＜m₂），使得当x∈D时，kx+m₁≤f（x）≤kx+m₂恒成立，则称函数f（x）在（x∈D）有一个宽度为d的通道．有下列函数：
①f（x）=

1

x

；②f（x）=sinx；③f（x）=

x2-1

；④f（x）=x³+1
其中在[1，+∞）上有一个通道宽度为1的函数题号

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：①只需考虑反比例函数在[1，+∞）上的值域即可，
②要分别考虑函数的值域和图象性质，
③则需从函数图象入手，寻找符合条件的直线，
④考虑幂函数的图象和性质，才可做出正确判断．

解答： 解：①当x∈[1，+∞）时，0＜

1

x

≤1，此时存在直线y=0，y=1，满足两直线的距离d=1，使0≤f（x）≤1恒成立，
故在[1，+∞）有一个宽度为1的通道，∴①满足条件．
②当x∈[1，+∞）时，-1≤sinx≤1，则函数值的最大值和最小值之间的距离d=2，
故在[1，+∞）不存在一个宽度为1的通道；
③当x∈[1，+∞）时，f（x）=

x2-1

表示双曲线x²-y²=1在第一象限的部分，双曲线的渐近线为y=x，故可取另一直线为y=x-

2

，
满足两直线的距离d=1，使x≤f（x）≤x-

2

恒成立，∴③满足在[1，+∞）有一个宽度为1的通道；
④当x∈[1，+∞）时，f（x）=x³+1≥2，且函数单调递增，故在[1，+∞）不存在一个宽度为1的通道；
故答案为：①③

点评：本题主要考查了对新定义性质的理解和运用，熟知已知四个函数的图象和性质，是解决本题的关键．考查学生的推理和判断能力．