Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量

m

=（-cosBcosC，1），

n

=（1，sinBsinC-

3

2

），且

m

⊥

n

．
（1）求cosB+sinC的取值范围；
（2）先给出下列三个条件：①a=1，②2c-（

3

+1）b=0，③B=

π

4

，试从中选择两个条件确定△ABC，并求出所确定的△ABC的面积．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：计算题,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）利用

m

•

n

=0，推出cos（B+C）=-

3

2

，然后求出A=30°；
（2）方案一：选择①②，可以确定△ABC，通过余弦定理，得c=

6 + 2

2

，求出S_△ABC；
方案二：选择①③，可以确定△ABC，由正弦定理的c，然后求出S_△ABC．

解答： 解：（1）因为向量

m

=（-cosBcosC，1），

n

=（1，sinBsinC-

3

2

），且

m

⊥

n

，
所以-cosBcosC+sinBsinC-

3

2

=0，
所以cos（B+C）=-

3

2

，
因为A+B+C=π，所以cos（B+C）=-cosA，
所以cosA=

3

2

，A=30°．
（2）方案一：选择①②，可以确定△ABC，
因为A=30°，a=1，2c-（

3

+1）b=0，
由余弦定理，得：1²=b²+（

3 +1

2

b）²-2b•

3 +1

2

b•

3

2

，
整理得：b²=2，b=

2

，c=

6 + 2

2

，
所以S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×

2

×

6 + 2

2

×

1

2

=

3 +1

4

．
方案二：选择①③，可以确定△ABC，
因为A=30°，a=1，B=45°，C=105°，
又sin105°=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+sin60°cos45°=

6 + 2

4

．
由正弦定理的c=

asinC

sinA

=

1×sin105°

sin30°

=

6 + 2

2

，
所以S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×1×

6 + 2

2

×

2

2

=

3 +1

4

．

点评：本题考查向量的垂直，正弦定理的应用，考查分析问题解决问题的能力．