Question

7．在下列命题中：
①若$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$共线，则表示$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$的有向线段所在的直线平行；
②若表示$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$的有向线段所在直线是异面直线，则$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$一定不共面；
③若$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$三向量两两共面，则$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$三向量一定也共面；
④已知三向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$不共面，则空间任意一个向量$\overrightarrow p$总可以唯一表示为$\overrightarrow p=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b+z\overrightarrow c$，x，y，z∈R．其中正确命题的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$共线时表示$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$的有向线段所在的直线平行或重合；
②表示$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$的有向线段所在直线是异面直线时，$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$也共面；
③$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$三向量两两共面时，$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$三向量不一定共面；
④根据空间向量的基本定理知，空间任向量$\overrightarrow p$可唯一表示为$\overrightarrow p=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b+z\overrightarrow c$．

解答 解：对于①，$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$共线，则表示$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$的有向线段所在的直线平行或重合，∴①错误；
对于②，表示$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$的有向线段所在直线是异面直线，则$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$一定共面，
因为向量是可以自由平移的，∴②错误；
对于③，若$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$三向量两两共面，则$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$三向量不一定也共面，
如$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$是空间直角坐标系中与x轴、y轴、z轴共方向的三个非零向量，
则$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$不共面，③错误；
对于④，根据空间向量的基本定理知，空间任意一个向量$\overrightarrow p$总可以唯一表示为$\overrightarrow p=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b+z\overrightarrow c$，
x，y，z∈R，∴④正确．
综上，正确命题为④．
故选：B．

点评 本题考查了向量的基本概念与应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是中档题．