Question

19．已知f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（x+1），0≤x＜1}\\{|x-3|，x≥1}\end{array}\right.$，则函数y=f（x）-$\frac{1}{2}$的所有零点之和是（　　）

• A． 5+$\sqrt{2}$
• B． 1-$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$-1
• D． 5-$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据题意，分析可得函数y=f（x）-$\frac{1}{2}$的所有零点即方程f（x）=$\frac{1}{2}$的根，分x≥0与x≤0两种情况分析求出方程f（x）=$\frac{1}{2}$的根，将其相加即可得答案．

解答 解：根据题意，函数y=f（x）-$\frac{1}{2}$的所有零点即方程f（x）=$\frac{1}{2}$的根，
当x≥0时，若f（x）=$\frac{1}{2}$，
则有log₂（x+1）=$\frac{1}{2}$（0≤x＜1）或|x-3|=$\frac{1}{2}$（x≥1），
解可得x=$\sqrt{2}$-1或$\frac{5}{2}$或$\frac{7}{2}$，
当x≤0时，若f（x）=$\frac{1}{2}$，有f（-x）=-f（x）=-$\frac{1}{2}$，
即log₂（-x+1）=-$\frac{1}{2}$（-1＜x≤0）或|-x-3|=-$\frac{1}{2}$（x≤-1），
此时无解；
则函数y=f（x）-$\frac{1}{2}$的所有零点之和是（$\sqrt{2}$-1）+$\frac{5}{2}$+$\frac{7}{2}$=5+$\sqrt{2}$，
故选：A．

点评 本题考查函数的奇偶性的性质以及函数零点的计算，关键是利用奇函数的性质分析．