Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-a|x|-{a}^{2}-2，x≥-1}\\{ax-{a}^{2}-1，x＜-1}\end{array}\right.$，（a∈R）．
（1）当a=2时，解不等式f（x）≤2；
（2）证明：方程f（x）=0最少有1个解，最多有2个解，并求该方程有2个解时实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出a=2时，分段函数的解析式，讨论x≥-1时，x＜-1时，解不等式，求并集即可得到所求解集；
（2）讨论：①当x≥0时，②当x＜-1时，③当-1≤x＜0时，考虑函数式与方程的解，即可得证，并求出a的范围．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2|x|-6，x≥-1}\\{2x-5，x＜-1}\end{array}\right.$，
当x≥-1时，f（x）=x²-2|x|-6≤2，即为-2≤|x|≤4，解得-1≤x≤4；
当x＜-1时，f（x）=2x-5≤2，即为x≤$\frac{7}{2}$，解得x＜-1．
综上可得，f（x）≤2的解集为{x|x≤4}；
（2）证明：①当x≥0时，△=a²+4（a²+4）＞0，记x²-ax-a²-2=0的两根为x₁，x₂，
∵x₁x₂=-a²-2＜0，∴方程f（x）=0在（0，+∞）只有1个解；
②当x＜-1时，f（x）=ax-a²-1=0，
当a=0时，方程无解；
当a≠0时，x=a+$\frac{1}{a}$，若a＞0，则x=a+$\frac{1}{a}$≥2＞0，方程f（x）=0在（-∞，-1）无解；
若a＜0，则x=a+$\frac{1}{a}$≤-2＜-1，方程f（x）=0在（-∞，-1）只有一个解；
③当-1≤x＜0时，f（x）=x²+ax-a²-2，
由f（0）=-a²-2＜0，f（-1）=-a-a²-1=-（a²+a+1）=-（a+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{4}$＜0，
可得f（x）=x²+ax-a²-2＜0，
则方程f（x）=0在[-1，0）无解．
综上可得，a≥0时，f（x）=0只有一个解；
a＜0时，f（x）=0有两个解．

点评 本题考查分段函数的应用：解不等式，注意各段的解析式，考查方程解的个数，注意运用函数方程思想，考查分类讨论思想方法，考查化简整理的运算能力，属于难题．