Question

已知f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，且f（2）=3．若对任意的m，n∈[-2，2]，m+n≠0，都有

f(m)+f(n)

m+n

＞0．
（1）判断函数f（x）的单调性，并说明理由；
（2）若f（2a-1）＜f（a²-2a+2），求实数a的取值范围；
（3）若不等式f（x）≤（5-2a）t+1对任意x∈[-2，2]和a∈[-1，2]都恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：计算题,压轴题,函数的性质及应用

分析：（1）设任意x₁，x₂，满足-2≤x₁＜x₂≤2，利用函数单调性的定义证明；
（2）由（1）知，f（2a-1）＜f（a²-2a+2）可化为-2≤2a-1）＜a²-2a+2≤2，从而解得．
（3）不等式f（x）≤（5-2a）t+1对任意x∈[-2，2]和a∈[-1，2]都恒成立，f_max（x）≤（5-2a）t+1对任意的a∈[-1，2]都恒成立，令g（a）=2ta-5t+2，a∈[-1，2]，从而求t．

解答： 解：（1）设任意x₁，x₂，满足-2≤x₁＜x₂≤2，由题意可得
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

（x₁-x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在定义域[-2，2]上是增函数．
（2）由（1）知，f（2a-1）＜f（a²-2a+2）可化为
-2≤2a-1）＜a²-2a+2≤2，
解得0≤a＜1，
∴a的取值范围为[0，1）．
（3）由（1）知，不等式f（x）≤（5-2a）t+1对任意x∈[-2，2]和a∈[-1，2]都恒成立，
f_max（x）≤（5-2a）t+1对任意的a∈[-1，2]都恒成立，
∴3≤（5-2a）t+1恒成立，
即2ta-5t+2≤0对任意的a∈[-1，2]都恒成立，
令g（a）=2ta-5t+2，a∈[-1，2]，
则只需

g(-1)=-5t+2≤0 g(2)=-t+2≤0

，
解得t≥2，
∴t的取值范围是[2，+∞）．

点评：本题考查了函数的单调性的判断与证明，同时考查了单调性的应用及恒成立问题，属于难题．