Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=AB=1．
（1）若BC=3，求异面直线PC与BD所成角的余弦值；
（2）若BC=2，求证：平面BPC⊥平面PCD；
（3）设E为PC的中点，在线段BC上是否存在一点F，使得EF⊥CD？请说明理由．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：建立空间直角坐标系，利用向量的数量积解决．

解答： 解：建立坐标系如图，

（1）P（0，0，1），C（1，3，0），B（1，0，0），D（0，1，0），
所以

PC

=（1，3，-1），

BD

=（-1，1，0），
所以cos＜

PC

，

BD

＞=

PC • BD

| PC || BD |

=

-1+3

11 2

=

22

11

，
所以异面直线PC与BD所成角的余弦值为

22

11

；
（2）设平面BPC的一个法向量为

n

=（x，y，z），平面PCD的一个法向量为

m

=（a，b，c），
则由

n • PB =0 n • BC =0

及

m • PD =0 m • DC =0

，
得

x-z=0 2y=0

及

b-c=0 a+b=0

，取x=1，b=c=1，
所以

n

=（1，0，1），

m

=（-1，1，1），

n

•

m

=-1+0+1=0，
所以

n

⊥

m

，
所以平面BPC⊥平面PCD；
（3）假设存在存在一点F，使得EF⊥CD，设CB=x，BF=y，那么E（

1

2

，

x

2

，

1

2

），F（1，y，0），

EF

=（

1

2

，y-

x

2

，-

1

2

），

CD

=（-1，1-x，0），

EF

•

CD

=-

1

2

+(1-x)(y-

x

2

)=0，所以存在x，y使等式成立．

点评：本题考查了利用空间向量解决异面直线所成的角以及面面垂直的问题，关键要适当建立坐标系，正确写出所需向量的坐标，属于中档题．