Question

抛物线：y²=2px（p＞0），倾斜角为45°的弦AB的中点为M
（1）若M=（m，2）求抛物线方程；
（2）若以AB为直径的圆过原点，求实数M的横坐标．

Answer 1

考点：抛物线的标准方程,圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出弦所在直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，然后利用根与系数关系求解；
（2）由以AB为直径的圆过原点得到

OA

•

OB

=0，转化为坐标运算求得直线的截距，再由中点坐标公式求得M的横坐标．

解答： 解：（1）设弦所在直线方程为y=x+b，
联立

y=x+b y2=2px

，得y²-2py+2pb=0，
∵M（m，2）为弦的中点，
∴y₁+y₂=2p=4，p=2．
∴抛物线方程为y²=4x；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）知，y₁+y₂=4，y₁y₂=4b，
则x1x2=(y1-b)(y2-b)=y1y2-b(y1+y2)+b2
=4b-4b+b²=b²．
∵以AB为直径的圆过原点，
∴

OA

•

OB

=0，即x1x2+y1y2=b2+4b=0，
解得：b=0或b=-4，
m=

x1+x2

2

=

y1+y2

2

-b=2-b．
当b=0时，m=2；
当b=-4时，m=6．

点评：本题考查了抛物线方程的求法，考查了直线与抛物线的关系，涉及直线与圆锥曲线关系问题，常采用联立直线与圆锥曲线方程，化为关于x的一元二次方程后利用根与系数关系求解，是中档题．