Question

已知点A（-2，0）和圆0：x²+y²=4，AB是圆O的直经，从左到右M、O和N依次是AB的四等分点，P（异于A、B）是圆0上的动点，PD⊥AB，交AB于D，

PE

=

1

3

ED

，直线PA与BE交于点C．
（1）求点C的轨迹曲线E的方程；
（2）若点Q、R是曲线E上不同的点，且PQ、PR与曲线E相切，求△OQR面积的最小值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）由已知得B（2，0），M（-1，0），N（1，0），设P（x₀，y₀），C（x，y），则E（x₀，

3

4

y₀），由直线PA与BE交于C，故x≠±2，

y

x+2

=

y0

x0+2

，①且

y

x-2

=

3 4 y0

x0-2

，②，①②相乘得点C的轨迹曲线E的方程．
（2）设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），设直线QR的方程为y=kx+m，直线QR的方程为

x0x

4

+

y0y

3

=1，由y=kx+m与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1(x≠2)联立，得（4k²+3）x²-8kmx+4m²-12=0，由此利用韦达定理、点到直线距离公式结合已知条件能求出△OQR面积的最小值．

解答： 解：（1）∵点A（-2，0）和圆O：x²+y²=4，AB是圆O的直经，
∴B（2，0），∵从左到右M、O和N依次是AB的四等分点，∴M（-1，0），N（1，0），
设P（x₀，y₀），C（x，y），则E（x₀，

3

4

y₀），
直线PA与BE交于C，故x≠±2，

y

x+2

=

y0

x0+2

，①且

y

x-2

=

3 4 y0

x0-2

，②
①②相乘得点C的轨迹曲线E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1(x≠2)．…（5分）
（2）设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），又因为点P（异于A，B） 是圆O上的动点，
故直线QR斜率存在，设直线QR的方程为y=kx+m，
则PQ、PR的方程分别为

xx1

4

+

yy1

3

=1，

xx2

4

+

yy2

3

=1，
所以直线QR的方程为

x0x

4

+

y0y

3

=1，
比较系数，得k=-

3x0

4y0

，m=

3

y0

，
即y₀=

3

m

，x₀=-

4k

m

y0=

3

m

，
∴4m²=16k²+9，③…（7分）
另一方面，由y=kx+m与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1(x≠2)联立，
得（4k²+3）x²-8kmx+4m²-12=0，
于是得x₁+x₂=

8km

4k2+3

，④，x₁x₂=

4m2-12

4k2+3

，⑤…（9分）
因为O到QR的距离为d=

|m|

k2+1

，
所以△OQR的面积：S=

1

2

|QR|d=

|m|

2

|x₁-x₂|，
将③④⑤代入消去k，得S=

12|m|

4m2+3

=

12

4|m|+ 3 |m|

，其中|m|=|

3

y0

|∈[

3

2

，+∞）．…（11分）
∴f（m）=

12

4|m|+ 3 |m|

在[

3

2

，+∞）是减函数，于是当t=|m|=

3

2

时，
S_min=[f（t）]_min=f（

3

2

）=

3

2

．…（13分）

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．