题目内容

等差数列{an}的公差d＜0，3a8=5a13，求使前n项和Sn取最大值时的正整数n的值．
考点：等差数列的性质
专题：计算题,等差数列与等比数列
分析：设等差数列{an}的公差为d，由已知可得d=-
2
39
a1，数列单调递减，由可得an=
41-2n
39
a1，解不等式可得数列的前20项为正数，从第21项开始为负值，从而可得结论．
解答： 解：设等差数列{an}的公差为d，
由3a8=5a13，可得3（a1+7d）=5（a1+12d），
解得d=-
2
39
a1，
∵d＜0，∴数列单调递减，
又an=a1+（n-1）d=
41-2n
39
a1，
令
41-2n
39
≤0可得n≥
41
2
，
故数列的前20项为正数，从第21项开始为负值，
故使前n项和Sn取最大值时的正整数n的值为20．
点评：本题考查等差数列的通项公式，涉及前n项和的最值，从数列自身的单调性入手是解本题的关键，属基础题．
练习册系列答案
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对于无穷数列{an}，记bn=an+1-an（n∈N*），给出下列定义：
①若存在实数M，使an≤M成立，则称数列{an}为“有上界数列”；
②若{an}为有上界数列，且存在n0（n0∈N*），使an0=M成立，则称{an}为“有最大值数列”；
③若bn+1-bn＜0（n∈N*），则称数列{an}为“差减小数列”．
（Ⅰ）根据上述定义，判断数列{
1
n
}，{-
1
2n
}分别是那种数列？
（Ⅱ）在数列{an}中，a1=
2
，an+1=
2+an
（n∈N*），求证：数列{an}既是有上界数列又是差减小数列；（Ⅲ）若数列{an}是有上界数列且是差减小数列但不是有最大值数列，求证：无穷数列{an}为单调递增数列．
若命题“?a∈[1，3]，使ax2+（a-2）x-2＞0“是真命题，则实数x的取值范围是
 
．
函数y=ax的反函数的图象过点（8，3），则a=
 
．
已知数列{an}满足：a1=1，a2=
1
4
，且nan+1-（n-1）an=anan+1．（n≥2，n∈N+）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对一切n∈N+有a12+22+…+an2＜
7
6
．
已知命题p：夹角为m的单位向量
a
，
b
使|
a
-
b
|＞1；命题q：函数f（x）=m2sinx的导函数为f′（x），若?x0∈R，f′（x0）≥
4π2
5
；设符合p∧q为真的实数m的取值范围的集合为A．
（1）求集合A；
（2）若B={x|x2=πa}，且B∩A=∅，求实数a的取值范围．
化简：
3+2
5+12
3+2
2
．
一次高中数学期末考试，选择题共有12个，每个选择题给出了四个选项，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．评分标准规定：对于每个选择题，不选或多选或错选得0分，选对得5分．在这次考试的选择题部分，某考生比较熟悉其中的8个题，该考生做对了这8个题．其余4个题，有一个题，因全然不理解题意，该考生在给出的四个选项中，随机选了一个；有一个题给出的四个选项，可判断有一个选项不符合题目要求，该考生在剩下的三个选项中，随机选了一个；还有两个题，每个题给出的四个选项，可判断有两个选项不符合题目要求，对于这两个题，该考生都是在剩下的两个选项中，随机选了一个选项．请你根据上述信息，解决下列问题：
（1）在这次考试中，求该考生选择题部分得60分的概率；
（2）在这次考试中，设该考生选择题部分的得分为X，求X的数学期望．
已知函数f（x）=lnx-mx+1，其中m∈R，g（x）=
3
8
x2-x+1+f（x）．
（1）若f（x）≤0在f（x）的定义域内恒成立，则实数m的取值范围
 
；
（2）在（1）的条件下，当m取最小值时，g（x）在[en，+∞）（n∈Z）上有零点，则n的最大值为
 
．

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