Question

4．已知函数f（x）=（$\frac{1}{2}$a-$\sqrt{3}$）sinx+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+1）cosx，将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度得到函数g（x）的图象，若对任意x∈R，都有g（x）≤g（$\frac{π}{4}$），则a的值为2．

Answer 1

分析 首先化简三角函数式，然后由图象的平移得到g（x）解析式，根据对任意x∈R，都有g（x）≤g（$\frac{π}{4}$），得到关于a 的等式解之．

解答 解：f（x）=（$\frac{1}{2}$a-$\sqrt{3}$）sinx+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+1）cosx=asin（x+$\frac{π}{3}$）-2sin（x-$\frac{π}{6}$），将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度得到函数g（x）=asinx-2sin（x-$\frac{π}{2}$）=asinx+2cosx，
因为对任意x∈R，都有g（x）≤g（$\frac{π}{4}$），所以$\sqrt{{a}^{2}+4}=\frac{\sqrt{2}}{2}a+\sqrt{2}$，解得a=2；
故答案为：2．

点评 本题考查了三角函数式的化简以及图象变换；由对任意x∈R，都有g（x）≤g（$\frac{π}{4}$），得到关于a 的等式是关键．