Question

l₁、l₂、l₃是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线．如果边长为2的正三角形ABC的三顶点分别在l₁，l₂，l₃上，设l₁与l₂的距离为d₁，l₂与l₃的距离为d₂，则d₁•d₂的范围为

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：利用两角和差的正弦、余弦公式化简d₁•d₂ =4sin（60°-θ） sinθ 为 2sin（2θ+30°）-1，再根据正弦函数的定义域和值域求得d₁•d₂的范围．

解答： 解：d₁•d₂ =4sin（60°-θ）sinθ=4（

3

2

cosθ-

1

2

sinθ） sinθ
=2（

3

2

sin2θ-

1+cos2θ

2

）=2sin（2θ+30°）-1．
∵0°＜θ≤60°，
∴30°＜2θ+30°≤150°，

1

2

＜2sin（2θ+30°）≤1，
∴d₁•d₂ ∈（0，1]，即d₁•d₂的范围是 （0，1]．
故答案为：（0，1]．

点评：本题主要考查两角和差的正弦函数，同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域，