Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，AD=2，PD=3，求二面角P-BC-A的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明AC⊥平面PBD，只需证明PD⊥AC，BD⊥AC；
（Ⅱ）取BC的中点E，连接DE，PE，证明∠PED是二面角P-BC-A的平面角，利用tan∠PED=

PD

DE

=

3

，可得结论．

解答： （Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∴底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）解：取BC的中点E，连接DE，PE，则
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴DE⊥BC，
∴PE⊥BC，
∴∠PED是二面角P-BC-A的平面角．
∵∠BAD=60°，AD=2，
∴DE=

3

，
∵PD=3，
∴tan∠PED=

PD

DE

=

3

，
∴∠PED=60°

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．