Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，直线l₁经过椭圆的上顶点A和右顶点B，并且和圆x²+y²=

4

5

相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l₂：y=kx+m（|m|∈[

1

2

，1]） 与椭圆C相交于M，N两点，以线段OM，ON为邻边作平行四边行OMPN，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点，求|OP|的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出a=2b，

|a|

12+22

=

4 5

，由此能求出椭圆方程．
（2）联立

x2 4 +y2=1 y=kx+m

，得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀），由已知得P（

-8km

4k2+1

，

2m

4k2+1

），由此利用椭圆性质推导出|OP|∈[1，

13

2

]．

解答： 解：（1）由e2=

a2-b2

a2

=

3

4

，得a²=4b²，所以a=2b，…（1分）
所以l₁：x+2y-a=0，有

|a|

12+22

=

4 5

，解得a=2，…..（5分）
所以b=1，所以椭圆方程为

x2

4

+y2=1．…．（6分）
（2）联立

x2 4 +y2=1 y=kx+m

，消去y，得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
则x0=x1+x2=

-8km

4k2+1

，y0=y1+y2=

2m

4k2+1

，
∴P（

-8km

4k2+1

，

2m

4k2+1

），
点P在椭圆上，有

( -8km 4k2+1 )2

4

+(

2m

4k2+1

)2=1，
整理，得4m²（1+4k²）=（1+4k²）²，
∴m2=k2+

1

4

，
而|OP|²=x02+y02=(

-8km

4k2+1

)2+(

2m

4k2+1

)2=4-

3

4m2

，
∵|m|∈[

1

2

，1]，∴m2∈[

1

4

，1]，
∴4-

3

4m2

∈[1，

13

4

]，
∴|OP|∈[1，

13

2

]．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查线段长的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．