Question

16．设F为抛物线C：y²=4x的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根据抛物线的方程求得焦点坐标，根据直线的倾斜角求得直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得x₁+x₂=$\frac{10}{3}$，由抛物线的性质可知丨AB丨=p+x₁+x₂=$\frac{16}{3}$，利用点到直线的距离公式求得O到直线y=$\sqrt{3}$（x-1）的距离d，根据三角形的面积公式S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d，即可求得则△OAB的面积．

解答 解：抛物线C：y²=4x的焦点（1，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴F且倾斜角为60°的直线y=$\sqrt{3}$（x-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：3x²-10x+2=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{10}{3}$，
由抛物线的性质可知：丨AB丨=p+x₁+x₂=$\frac{16}{3}$，
点O到直线y=$\sqrt{3}$（x-1）的距离d，d=$\frac{丨\sqrt{3}丨}{\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴则△OAB的面积S，S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\frac{1}{2}$•$\frac{16}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．