题目内容

6．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x（元）88.28.48.68.89
销量y（件）908483807568
（I）求回归直线方程$\stackrel{∧}{y}$=bx+a，其中b=-20，a=$\stackrel{∧}{y}$-b$\overline{x}$；
（II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）
（Ⅲ）销量与单价仍然服从（I）中的关系，选取表格前三组数据，计算残差平方和．
（残差平方和计算公式$\sum_{i=1}^{n}$（yi-$\stackrel{∧}{y}$i）2．

分析 （I）计算平均数，利用b=-20，a=$\stackrel{∧}{y}$-b$\overline{x}$，即可求得回归直线方程；
（II）设工厂获得的利润为L元，利用利润=销售收入-成本，建立函数，利用配方法可求工厂获得的利润最大；
（Ⅲ）当x=8时，e1=0；当x=8.2时，e2=-2；当x=8.4时，e3=0，可得残差平方和．

解答 解：（I）$\overline{x}$=8.5，$\overline{y}$=80，
∵b=-20，a=$\stackrel{∧}{y}$-b$\overline{x}$，
∴a=80+20×8.5=250
∴回归直线方程$\stackrel{∧}{y}$=-20x+250；
（II）设工厂获得的利润为L元，则L=x（-20x+250）-4（-20x+250）=-$20（x-\frac{33}{4}）^{2}+361.25$
∴该产品的单价应定为$\frac{33}{4}$元，工厂获得的利润最大．
（Ⅲ）当x=8时，e1=0；当x=8.2时，e2=-2；当x=8.4时，e3=0；
∴残差平方和为4．

点评 本题主要考查回归分析，考查二次函数，考查运算能力、应用意识，属于中档题．

练习册系列答案
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