Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PA⊥面ABCD，E是AB的中点，F是PC的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥面PDE；
（Ⅱ）求证：面PDE⊥面PAB．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明FG与BE平行且相等，可得BF∥GE，利用线面平行的判定可得BF∥面；
（Ⅱ）证明DE⊥AB，DE⊥AP，利用线面垂直的判定定理，可得DE⊥面PAB，从而可证面PDE⊥面PAB．

解答： 证明：画出图象，如图示：
（Ⅰ）取PD的中点G，连结FG，GE，
∵F，G是中点，∴FG∥CD且FG=

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CD，∴FG与BE平行且相等，
∴BF∥GE，
∵GE?面PDE
∴BF∥面PDE．
（Ⅱ）∵底面ABCD是菱形，∠BCD=60°
∴△ABD为正三角形E是AB的中点，DE⊥AB，
∵PA⊥面ABCD，DE?面ABCD
∴DE⊥AP，
∵AB∩AP=A
∴DE⊥面PAB
∵DE?面PDE
∴面PDE⊥面PAB．

点评：本题考查线面垂直，面面垂直，考查线面平行，正确运用判定定理是关键．