Question

求曲线x²-6xcosθ-4y+9cos²θ+8sinθ=0（θ为参数）的焦点轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由已知得（x-3cosθ）²=4（y-2sinθ），焦点的参数方程为：x=3cosθ，y=1+2sinθ（θ为参数），由此能求出焦点的轨迹是椭圆

x2

9

+

(y-1)2

4

=1．

解答： 解：∵x²-6xcosθ-4y+9cos²θ+8sinθ=0（θ为参数），
∴（x-3cosθ）²=4（y-2sinθ），
曲线是一条抛物线，焦参数p=2，顶点坐标为（3cosθ，2sinθ），
对称轴平行于y轴，开口向y轴正方向，
焦点的参数方程为：x=3cosθ，y=1+2sinθ（θ为参数）．
变形：

x

3

=cosθ，

y-1

2

=sinθ，
平方相加：

x2

9

+

(y-1)2

4

=1，
所以焦点的轨迹是椭圆

x2

9

+

(y-1)2

4

=1．

点评：本题考查曲线的焦点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆锥曲线性质的合理运用．