Question

甲、乙两容器中分别盛有两种浓度的某种溶液300mL，从甲容器中取出100mL溶液，将其倒入乙容器中搅匀，再从乙容器中取出100mL溶液，将其倒入甲容器中搅匀，这称为是一次调和，已知第一次调和后，甲、乙两种溶液的浓度分别记为：a₁=20%，b₁=2%，第n次调和后的甲、乙两种溶液的浓度分别记为：a_n，b_n．
（Ⅰ）请用a_n，b_n分别表示a_n+1和b_n+1；
（Ⅱ）问经过多少次调和后，甲乙两容器中溶液的浓度之差小于0.1%．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意，第n次调和后的甲、乙两种溶液的浓度分别记为：a_n，b_n，从而可用a_n，b_n分别表示a_n+1和b_n+1；
（Ⅱ）由于题目中的问题是针对浓度之差，所以，我们不妨直接考虑数列{a_n-b_n}．由（I）可得数列{a_n-b_n}是以a₁-b₁=18%为首项，以

1

2

为公比的等比数列，令a_n-b_n＜0.1%，即可得出结论．

解答： 解：（I）由题意可设在第一次调和后的浓度为a₁=20%，b₁=2%，bn+1=

100an+300bn

(100+300)

=

1

4

an+

3

4

bn；
an+1=

100bn+1+200an

(100+200)

=

1

3

bn+1+

2

3

an=

1

3

(

1

4

an+

3

4

bn)+

2

3

an=

3

4

an+

1

4

bn…（6分）
（II）由于题目中的问题是针对浓度之差，所以，我们不妨直接考虑数列{a_n-b_n}．
由（I）可得：an+1-bn+1=(

1

3

bn+1+

2

3

an)-bn+1=

2

3

(an-bn+1)=

2

3

[an-(

1

4

an+

3

4

bn)]=

1

2

(an-bn)
=an+1-bn+1=(

1

3

bn+1+

2

3

an)-bn+1=

2

3

(an-bn+1)=

2

3

[an-(

1

4

an+

3

4

bn)]=

1

2

(an-bn)…（8分）
所以，数列{a_n-b_n}是以a₁-b₁=18%为首项，以

1

2

为公比的等比数列．
所以，an-bn=18%×(

1

2

)n-1…（9分）
由题，令a_n-b_n＜0.1%，得(

1

2

)n-1＜

1

180

．
所以，n-1＞

lg180

lg2

=log2180．…（11分）
由2⁷＜180＜2⁸得7＜log₂180＜8，所以，n＞8…（12分）
即第9次调和后两溶液的浓度之差小于0.1%…（13分）

点评：本题考查数列的性质和应用，考查学生利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．