Question

已知曲线C：x²=4y．
（1）若点P是直线y=2x-5上任意一点，过P作C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，M为EF的中点，求证：PM⊥x轴
（2）在（1）的条件下，直线EF是否恒过一定点？若是，求出定点；若不是，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）对函数求导，设切点坐标，得切线方程．设P（x₀，2x₀-5）代入两条切线方程，由韦达定理求得M坐标得证；
（2）求出切线PE，PF的方程，可得E，F在直线2x0-5=

x

2

x0-y上，即可得出结论．

解答： （1）证明：设M（x，y），E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
∵y′=

x2

2

∴KPE=

x 2 1

2

，KPF=

x 2 2

2

，
∴切线PE的方程为y-

x 2 1

4

=

x1

2

(x-x1)，即y=

x1

2

x-

x 2 1

4

…．（2分）
同理，切线PF的方程为y=

x2

2

x-

x 2 2

4

设P（x₀，2x₀-5）代入两条切线方程中，
得x1，x2为方程x2-2x0x+8x0-20=0的两个根…（4分）
∴x₁+x₂=2x₀，x=x₀，M，P两点的横坐标都是x₀
则PM⊥x轴…．（6分）
（2）∵y1=

x 2 1

4

，y2=

x 2 2

4

，
∴切线PE的方程为y=

x1

2

x-y1，切线PF的方程为y=

x2

2

x-y2…．（8分）
∴E，F在直线2x0-5=

x

2

x0-y上，…（10分）
即（x-4）x₀-2y+10=0恒过点（4，5）…（12分）

点评：本题主要考查导数法求切线方程以及直线过定点问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．．