Question

△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，则sinB+sinC的最大值为（　　）

• A、0
• B、1
• C、

  1

  2

• D、

  2

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：已知等式利用正弦定理化简，整理得到关系式，利用余弦定理表示出cosA，把得出关系式代入求出cosA的值，进而确定出A的度数，得到B+C的度数，用C表示出B，代入原式中利用两角和与差的正弦函数公式整理为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出sinB+sinC的最大值即可．

解答： 解：把2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，利用正弦定理化简得：2a²=b（2b+c）+c（2c+b），
整理得：b²+c²-a²=-bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，
∴A=120°，即B+C=60°，
∴C=60°-B，
∴sinB+sinC=sinB+sin（60°-B）=sinB+

3

2

cosB-

1

2

sinB=

1

2

sinB+

3

2

cosB=sin（B+60°），
∵0＜B＜60°，∴60°＜B+60°＜120°，
∴

3

2

＜sin（B+60°）≤1，即

3

2

＜sinB+sinC≤1，
则sinB+sinC的最大值为1，
故选：B．

点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键．