Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx+cosx，$\sqrt{2}$cosx ），$\overrightarrow{b}$=（cosx-sin x，$\sqrt{2}$sinx），x∈[-$\frac{π}{8}$，0]．
（1）求|$\overrightarrow{a}$|的取值范围；
（2）若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1，求x的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量$\overrightarrow{a}$的坐标及二倍角公式求出$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+2}$，由x的范围可以求出$2x+\frac{π}{4}$的范围，从而得出$sin（2x+\frac{π}{4}）$的范围，进一步便可得出$|\overrightarrow{a}|$的范围；
（2）进行数量积的坐标运算，并应用上二倍角的正余弦公式及两角和的正弦公式便可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）=1$，然后根据x的范围可以确定$2x+\frac{π}{4}$的范围，从而根据$sin（2x+\frac{π}{4}）=\frac{\sqrt{2}}{2}$即可求出x值．

解答 解：（1）$|\overrightarrow a|=\sqrt{{{（sinx+cosx）}^2}+2{{cos}^2}x}=\sqrt{1+sin2x+cos2x+1}$=$\sqrt{\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+2}$；
∵$x∈[-\frac{π}{8}，0]$；
∴$0≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{4}$；
∴$0≤sin（2x+\frac{π}{4}）≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
∴$|\overrightarrow a|$的取值范围是$[\sqrt{2}，\sqrt{3}]$；
（2）$\overrightarrow a•\overrightarrow b={cos^2}x-{sin^2}x+2sinxcosx$=$cos2x+sin2x=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$；
∵$\overrightarrow a•\overrightarrow b=1$；
∴$sin（2x+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
∵$x∈[-\frac{π}{8}，0]$，∴$0≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{4}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1$时，2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$，即x=0．

点评 考查根据向量的坐标求向量的长度，二倍角的正余弦公式，以及两角和的正弦公式，向量数量积的坐标运算，已知三角函数值求角．