已知函数f(x)=22x-2xa-(a+1)．＜0,有零点.求实数a的取值范围．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知函数f（x）=2^2x-2^xa-（a+1）．
（1）若a=2，解不等式f（x）＜0；
（2）若f（x）有零点，求实数a的取值范围．

分析（1）将a代入，得到具体指数不等式，利用换元法解之即可；
（2）利用函数有零点，得到方程有根，得到2^x=（a+1）＞0，求得a 的范围．

解答解：（1）当a=2时，f（x）=2^2x-2^xa-（a+1）=2^2x-2×2^x-3，
所以不等式f（x）＜0可化为2^2x-2×2^x-3＜0 …（2分）
令t=2^x，则t²-2t-3＜0
解得：0＜t＜3即0＜2^x＜3
所以x＜log₂3…（5分）
所以不等式的解集为（-∞，log₂3）．…（6分）
（2）∵函数f（x）有零点
∴2^2x-2^x•a-（a+1）=0…（8分）
（2^x+1）[2^x-（a+1）]=0又2^x＞0…（10分）
∴2^x=（a+1）＞0
∴a＞-1…（12分）

点评本题考查了指数不等式的解法以及函数零点问题；注意函数零点即对应方程的根．

练习册系列答案

9．已知函数f（x）=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$+sinx，则f（2017）+f（-2017）=2．

6．函数f（x）=4x²-kx-8在（-∞，8]上是单调函数，则k的取值范围是[64，+∞）．

13．下列说法中正确的是（　　）

	A．	“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件
	B．	命题“若$α=\frac{π}{6}$，则$sinα=\frac{1}{2}$”的否命题是“若$α≠\frac{π}{6}$，则$sinα≠\frac{1}{2}$”
	C．	若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
	D．	若p：?x₀∈R，$x_0^2-{x_0}-1＞0$，则?p：?x∈R，x²-x-1＜0