Question

3．若正实数m，n满足mn=1，证明：$\frac{1}{{e}^{m-1}}$+$\frac{1}{{e}^{n-1}}$＜2（m+n）．

Answer 1

分析 设f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，g（x）=xlnx，利用导数判断两函数的单调性，得出两函数的极值，从而由$\frac{x}{{e}^{x}}$-xlnx＜$\frac{2}{e}$，故而$\frac{1}{{e}^{m-1}}$-elnm＜$\frac{2}{m}$，$\frac{1}{{e}^{n-1}}$-elnn＜$\frac{2}{n}$，两式相加即可得出结论．

解答 解：设f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，则f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
∴f（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴f（x）的最大值为f（1）=$\frac{1}{e}$，
设g（x）=xlnx，则g′（x）=lnx+1，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上单调递减，在（$\frac{1}{e}$，1）上单调递增，
∴g（x）的最小值为g（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，
∴f（x）-g（x）＜$\frac{1}{e}$-（-$\frac{1}{e}$）=$\frac{2}{e}$．
即$\frac{x}{{e}^{x}}$-xlnx＜$\frac{2}{e}$，
∴$\frac{m}{{e}^{m}}$-mlnm＜$\frac{2}{e}$，即$\frac{1}{{e}^{m}}$-lnm＜$\frac{2}{em}$，
∴$\frac{1}{{e}^{m-1}}$-elnm＜$\frac{2}{m}$，
同理：$\frac{1}{{e}^{n-1}}$-elnn＜$\frac{2}{n}$，
两式相加得：$\frac{1}{{e}^{m-1}}$+$\frac{1}{{e}^{n-1}}$-e（lnm+lnn）＜2（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$）=2（$\frac{m+n}{mn}$），
∵mn=1，
∴$\frac{1}{{e}^{m-1}}$+$\frac{1}{{e}^{n-1}}$＜2（m+n）．

点评 本题考查了函数单调性与不等式的证明，利用不等式构造函数是解题关键，属于中档题．