Question

14．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{3}$）两条相邻的对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，若其图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）（　　）

• A． 关于点（$\frac{π}{12}$，0）对称
• B． 关于点（$\frac{5π}{12}$，0）对称
• C． 关于直线x=$\frac{5π}{12}$对称
• D． 关于直线x=$\frac{π}{12}$对称

Answer 1

分析 根据f（x）两条相邻的对称轴之间的距离求出周期T，再根据函数f（x）的图象平移求出φ的值，得出f（x）的解析式，从而判断出正确的选项．

解答 解：f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{3}$）两条相邻的对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，
所以函数f（x）的周期为：T=$\frac{π}{2}$×2=π，
则ω=$\frac{2π}{π}$=2，所以函数f（x）=sin（2x+φ），
故函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位时，得到函数g（x）=f（x-$\frac{π}{3}$）=sin[2（x-$\frac{π}{3}$）+φ]=sin（2x+φ-$\frac{2π}{3}$），
函数g（x）是奇函数有：φ-$\frac{2π}{3}$=kπ，k∈Z，
又|φ|≤$\frac{π}{3}$，
解得：φ=-$\frac{π}{3}$；
f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
所以f（$\frac{π}{12}$）=sin（2×$\frac{π}{12}$-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，选项A、D错误；
f（$\frac{5π}{12}$）=sin（2×$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{3}$）=1，选项B错误、C正确．
故选：C．

点评 本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换问题，由题意求得函数y=sin（ωx+φ）的解析式是关键，属于中档题．